4.1 Парадоксы материальной импликации

Наименее для нас ценными, если можно так выразиться, конечно, являются так называемые тождественно ложные формулы, потому что это своеобразные антизаконы логики. Это такие формулы, которые при любой интерпретации входящих в них переменных оказываются ложными.

Любопытно, что наличие в классической логике таких тождественно ложных и тождественно истинных формул приводит к не очень желательным философским следствиям, когда речь заходит об анализе условной связи. Я напомню, что в естественном языке условная связь между высказываниями, как правило, выражается союзом «если… то». Например: «если воду нагреть до 100 градусов по Цельсию, то она закипит». Это типичный пример условного высказывания. Мы с вами знаем из наших предыдущих лекций, что на языке классической логики такие условные высказывания записываются с помощью логической связки «импликация». Здесь по умолчанию как будто бы предполагается, что импликация, собственно, и формализует условную связь, то есть является формальной моделью условной связи. Так вот, если по-честному принять такую точку зрения, то она приводит к странностям, и эти странности известные в логике под заголовком «Парадоксы материальной импликации».

Проблема заключается в том, что в классической логике есть такие законы, то есть такие тождественно истинные формулы, которые противоречат нашей содержательной интуиции в том случае, если мы понимаем импликацию как аналог условной связи в естественном языке.

Давайте вспомним, как в классической логике определяются условия истинности и ложности для импликации. На текущем слайде вы можете увидеть таблицу истинности для нее. Итак, импликация ложна, только когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. И импликация истинна, только когда ее антецедент ложен или консеквент истинен, то есть в трех различных ситуациях. Или когда антецедент ложен, или когда консеквент истинен.

Прежде всего стоит сказать, что само условие истинности импликации вступает в некоторое противоречие с интуитивным представлением об условной связи. Посмотрите, импликация может быть истинна, когда ее антецедент и консеквент оба являются ложными. То есть, согласно этому определению, высказывание «Если два плюс два равно шесть, то Москва – столица Великобритании» – это истинное высказывание.

Об одной из возникающих здесь проблем мы уже говорили на нашей лекции о видах сложных высказываний. Другая проблема состоит в том, что оба этих высказывания, из которых состоит сама импликация, никак не связаны друг с другом по смыслу. Но ведь мы считаем, что импликация выражает наличие условной связи! По умолчанию антецедент должен как-то обуславливать консеквент. Но разве утверждение о том, что два плюс два равно шесть, обуславливает утверждение о том, что Москва – столица Великобритании? Совершенно точно нет.

Кроме того, даже самое первое условие истинности для импликации на первой строке вызывает похожую проблему. Даже если импликация образована из двух истинных высказываний, то это совсем не значит, что первое обуславливает второе. Например, высказывание «Если два плюс два равно четыре, то Москва – столица России» – это истинное высказывание, согласно определению импликации. Но опять-таки обе части импликации не связаны друг с другом по смыслу.

Говоря уже непосредственно о парадоксах материальной импликации, обычно выделяют четыре таких парадокса. Это четыре формулы классической логики высказываний, которые являются ее законами, то есть тождественно истинными формулами, но которые, как мы уже замечали выше, противоречат некоторым нашим интуициям.

Первые два парадокса в некотором смысле отражают на уровне формального языка ту странность с табличным определением импликации, которую мы только что обсудили. Первый парадокс – это так называемый закон утверждения консеквента. Иногда эту формулу в данном контексте еще называют «позитивный парадокс», потому что парадокс присутствует, но он не задействует связки отрицания в своей формулировке.

Закон утверждения консеквента можно прочесть следующим образом: если некоторая формула В истинна, то она является следствием произвольной формулы А. По сути, этот закон фиксирует часть условия истинности импликации: ту часть, когда импликация истинна, если ее консеквент истинен.

В свою очередь, закон Дунса Скота может быть проинтерпретирован так, что он фиксирует вторую часть условия истинности импликации, когда импликация истинна, если ее антецедент ложен. Соответственно, данную формулу можно прочесть так: если антецедент импликации ложен, то любая формула В является его следствием.

Еще две формулы, которые часто упоминаются как канонические примеры парадоксов материальной импликации тесно связаны с понятием тождественно ложной и тождественно истинной формулы, которые мы разбирали на лекциях. Первый из них – это так называемый закон «из противоречия следует все что угодно». А второй – это «закон логики является следствием любого высказывания».

Странность этих законов состоит в том, что они имеют импликативную форму. Главным знаком в них является импликация. Но при этом их антецеденты и консеквенты не имеют общих пропозициональных переменных, то есть они не релевантны друг другу с точки зрения смысла.

В силу чего они возникают? Обратимся к определению истинности связки импликации. Одна из возможностей, при которой импликация оказывается истинной, – это случай, когда ее антецедент является ложным. Но что, если антецедентом какой-то импликации выступает такая формула, которая сама по себе является тождественно ложной, то есть она всегда принимает значение «ложь» при любой интерпретации? В этом случае вся импликативная формула заведомо окажется истинной, потому что ее антецедент будет принимать значение «ложь» при любой интерпретации, а значит, вся она будет истинной при любой интерпретации. Собственно, по этой причине и возникает парадокс «из противоречия следует все что угодно».

Второй принцип – «закон логики является следствием любого высказывания» – возникает из-за второй части определения истинности импликации. Раз в нашей теории в принципе существуют логические законы, то есть такие формулы, которые всегда истинны, то какое тогда значение будут принимать импликативные формулы, у которых в качестве консеквента фигурируют, собственно, эти законы? Очевидно, что такие импликации будут истинны при любой интерпретации, ведь их консеквенты заведомо истинны тоже при любой интерпретации, а этого достаточно для истинности всей импликативной формулы.

Однако оба эти закона не удовлетворяют нашему представлению об условной связи как о таком отношении, которое предполагает некоторую релевантность по смыслу между антецедентом и консеквентом. Конечно, высказывание «если два плюс два равно четыре и неверно, что два плюс два равно четыре, то Москва была образована в 1147 году», абсурдно и точно не выражает никакой условной связи между антецедентом и консеквентом. Но оно тем не менее является логически истинным с точки зрения классической логики.

Все это говорит о том, что импликацию в классической логике высказываний все-таки нельзя рассматривать как действительно аналог или формальную модель условной связи в естественном языке. Да, какой-то фрагмент естественного языка вполне можно покрыть безо всяких проблем. Но однозначно утверждать, что импликация в полной мере передает смысл союза «если… то», все-таки нельзя.

В современной неклассической логике есть специальное направление, которое возникло как раз с целью устранить эти парадоксы материальной импликации и построить логическую теорию релевантной импликации, которая бы действительно по-настоящему моделировала условную связь и удовлетворяла критерию релевантности. Собственно, это направление так и называется: релевантная логика. Но, к сожалению, в нашем курсе нет возможности познакомиться с этим направлением поближе, так что если эта тема вам интересна, то вы можете ознакомиться с рекомендуемой литературой самостоятельно.